Question

13．如圖，?ABCD中，E為AD的中點，BE、CD相交于點F．
（1）求證：AB=DF
（2）若△DEF的面積為S₁，△BCF的面積為S₂，且S₁²-S₂+4=0，求?ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質得到AB∥CD，AB=CD，平行線的性質得到∠A=∠EDF，根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質得到DE=AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，求得S₂=4S₁，解方程得到S₁=2，求得S₂=8，于是得到結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠A=∠EDF，
又∵E為AD中點，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中$\left\{{\begin{array}{l}{∠A=∠EDF}\\{AE=DE}\\{∠1=∠2}\end{array}}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（ASA），
∴AB=DF，

（2）解：∵△ABE≌△DFE，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∵DE∥BC，
∴△FED∽△FBC
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴即S₂=4S₁，
∵S₁²-S₂+4=0，
∴S₁²-4S₁+4=0，∴S₁=2，
∴S₂=8，
又∵△ABE≌△DFE，
∴?ABCD的面積=S_△BCF=8．

點評 本題考查了相似三角形的，平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．