Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于點A（-3，0）和點B（1，0），與y軸相交于點C（0，-3），拋物線的頂點為點D，連接AC、BC．
（1）求這條拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點M的坐標為（-1，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得OF+MF最�。咳舸嬖�，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）①若P′為拋物線上一動點，且∠ACP'=∠BCO，請求出點P'的坐標；
②在拋物線第三象限的圖象上有兩點R與E（點R在點E右側(cè)），且RE∥x軸，過點A作x軸的垂線AN'，連接AE，在線段AE上有一點G，作射線RG交垂線AN'于點N，當2∠ERG+∠EGR=90°，且AE：RN=3：2時，求RE的長及△REG的面積．

Answer 1

分析 （1）把點A、B、C的坐標分別代入函數(shù)解析式，列出關于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；
（2）作點O關于AC的對稱點E，連接AE，CE，當E、F、M三點共線時，線段最短，結(jié)合正方形的性質(zhì)推知：（MF+OF）_最小=ME，確定F的位置，根據(jù)平行相似可得F的縱坐標，即是P的縱坐標，代入拋物線的解析中可求得對應x的值；
（3）①分兩種情況：當P′在x軸的上方或下方時，分別根據(jù)tan∠BCO=$\frac{1}{3}$，構(gòu)建直角三角形，先求直線CP'的解析式，再求直線CP'與拋物線的交點即可；
②延長RE交AN于F，則RF⊥AN，先證明△AFE∽△RFN則$\frac{AE}{RN}=\frac{AF}{RF}=\frac{EF}{FN}$=$\frac{3}{2}$，設R（x，x²+2x-3），根據(jù)比例式列方程可得R的坐標，從而得RE的長；則再求G的坐標，可得△EGR的底邊ER對應的高GM，利用三角形面積公式可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線過點A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴D（-1，-4）；

（2 ）存在，如圖1，作點O關于AC的對稱點E，連接EM、AE，CE，EM與直線AC交于F，連接OF，
∵OA=OC，
∴易知，四邊形AOCE是正方形，此時（MF+OF）_最小=ME，
∴AE=OC=3，
∵M（-1，0），
∴AM=2，
過F作H₁H₂∥y軸，分別交x軸于H₁，交EC于H₂，
∵AM∥EC，
∴△AFM∽△CFE，
∴$\frac{AM}{EC}=\frac{F{H}_{1}}{F{H}_{2}}$，
∴$\frac{2}{3}=\frac{F{H}_{1}}{F{H}_{2}}$，
∵H₁H₂=AE=3，
∴FH₁=$\frac{6}{5}$，
∴P的縱坐標為-$\frac{6}{5}$，將y=-$\frac{6}{5}$代入拋物線y=x²+2x-3中，解得，x=$\frac{-5±\sqrt{70}}{5}$；
∴P（$\frac{-5-\sqrt{70}}{5}$，-$\frac{6}{5}$）或（$\frac{-5+\sqrt{70}}{5}$，-$\frac{6}{5}$）；

（3）①當P'在x軸的上方時，如圖2，
過E作EF⊥AC于F，
∵OA=OC=3，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
設AF=EF=x，則AE=$\sqrt{2}$x，
∵∠ACP'=∠BCO，
∴tan∠ACP'=tan∠BCO，
∴$\frac{OB}{OC}=\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{3}$，
∴FC=3EF=3x，
∵AC=3$\sqrt{2}$，
∴x+3x=3$\sqrt{2}$，
x=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$×$\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵E（-$\frac{3}{2}$，0），
設直線CE的解析式為：y=kx+b，
把E（-$\frac{3}{2}$，0）和C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線CE的解析式為：y=-2x-3，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-3}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$，
x²+2x-3=-2x-3，
x²+4x=0，
x（x+4）=0，
x₁=0（舍），x₂=-4，
∴P'（-4，5）；
當P'在x軸的下方時，如圖3，
過A作AG⊥CP'于G，過G作EF⊥x軸于E，過C作CF⊥EF于F，
∴∠AGO=90°，
同理：∵∠ACP'=∠BCO，
∴tan∠ACP'=tan∠BCO，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{1}{3}$，
易得△AEG∽△GFC，
∴$\frac{AE}{GF}=\frac{EG}{FC}=\frac{AG}{GC}$=$\frac{1}{3}$，
∴GF=3AE，F(xiàn)C=3EG，
設AE=b，EG=a，
∵EF=OC=3，OE=FC=3a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a=b+3}\\{a+3b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{6}{5}}\\{b=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴G（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
同理得：直線CG的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x-3，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-3}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$，
x²+2x-3=-$\frac{1}{2}$x-3，
x²+$\frac{5}{2}$x=0，
x（x+$\frac{5}{2}$）=0，
x₁=0（舍），x₂=-$\frac{5}{2}$，
∴P'（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$），
綜上所述，點P'的坐標為（-4，5）或（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$）；

②延長RE交AN于F，則RF⊥AN，
∴∠ERG+∠FNR=90°，
∵2∠ERG+∠EGR=90°，
∴∠FNR=∠ERG+∠EGR，
∵∠FNR=∠FAE+∠AGN，∠AGN=∠EGR，
∴∠ERG=∠FAE，
∵∠AFE=∠AFE=90°，
∴△AFE∽△RFN，
∴$\frac{AE}{RN}=\frac{AF}{RF}=\frac{EF}{FN}$=$\frac{3}{2}$，
設R（x，x²+2x-3），
∴$\frac{-{x}^{2}-2x+3}{3+x}=\frac{3}{2}$，
2x²+7x+3=0，
（2x+1）（x+3）=0，
x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=-3（舍），
∴R（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
由對稱性得：E（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
∴RE=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，
∴AF=$\frac{15}{4}$，EF=FR-ER=3-$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
∴FN=1，
∴AN=AF-FN=$\frac{15}{4}$-1=$\frac{11}{4}$，
∴N（-3，-$\frac{11}{4}$），
同理可得：RN的解析式為：y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{79}{20}$，
AE的解析式為：y=-$\frac{5}{2}$x-$\frac{15}{2}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{5}x-\frac{79}{20}}\\{y=-\frac{5}{2}x-\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{71}{42}}\\{y=-\frac{275}{84}}\end{array}\right.$，
∴G（-$\frac{71}{42}$，-$\frac{275}{84}$），
過G作GM⊥FR于M，
∴GM=$\frac{15}{4}$-$\frac{275}{84}$=$\frac{315}{84}$-$\frac{275}{84}$=$\frac{40}{84}$=$\frac{10}{21}$，
∴S_△REG=$\frac{1}{2}$ER•GM=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{10}{21}$=$\frac{5}{21}$．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、三角形相似的性質(zhì)和判定、兩函數(shù)的交點坐標、軸對稱的最短路徑問題等知識，比較復雜，計算量大，尤其是最后一問，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想，并與方程相結(jié)合，解決問題，是一道綜合性較強的壓軸題．