Question

如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8．
（1）求sin∠ABD．
（2）揚揚發(fā)現(xiàn)∠ABC=2∠ABD，于是她推測：sin∠ABC=2sin∠ABD，它的推測正確嗎？請通過本題圖形中的數據予以說明．

Answer 1

考點：菱形的性質,勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）由菱形的性質可得AC⊥BD，AO=3，BO=4，△ABO是直角三角形，再利用勾股定理可得到AB=5，再利用正弦的定義即可求得sin∠ABD的值；
（2）作AE⊥BC，構筑直角三角形ABE，利用平行四邊形的面積求得AE的長度，再在直角三角形ABE中，利用正弦的定義即可求得sin∠ABC，從而可證sin∠ABC與2sin∠ABD不相等．

解答：解：（1）設AC、BD交于點O，
則AO⊥BO，AO=3，BO=4，
根據勾股定理得AB=

32+42

=5，
∴sin∠ABD=

3

5

．
（2）不正確．
理由：如圖，作AE⊥BC，垂足為E，菱形ABCD的面積=

1

2

AC×BD=BC×AE，
即

1

2

×6×8=5×AE，
得AE=

24

5

，
所以sin∠ABC=

AE

AB

=

24 5

5

=

24

25

．
由（1）得sin∠ABD=

3

5

，
∴2sin∠ABD=2×

3

5

=

6

5

≠sin∠ABC，
即揚揚的推測不正確．

點評：本題主要考查菱形的性質，面積公式及銳角三角函數中正弦的定義，掌握好菱形的性質和正弦定義是解題的關鍵．