Question

7．如圖，AB為⊙O直徑，E為⊙O上一點(diǎn)，∠EAB的平分線AC交⊙O于C點(diǎn)，過C點(diǎn)作CD⊥AE的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，直線CD與射線AB交于P點(diǎn)．
（1）求證：DC為⊙O切線；
（2）若DC=1，AC=$\sqrt{5}$，①求⊙O半徑長(zhǎng)；②求PB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，于是可判斷OC∥AD，由于CD⊥AD，所以O(shè)C⊥CD，則根據(jù)切線的判定定理得到DC為⊙O切線；
（2）①連結(jié)BC，如圖，在Rt△ACD中利用勾股定理計(jì)算出AD=2，再Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，利用相似比計(jì)算出AB=$\frac{5}{2}$，從而得到⊙O半徑長(zhǎng)為$\frac{5}{4}$；
②證明△POC∽△PAD，然后利用相似比可計(jì)算出BP的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵AC平分∠EAB，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴DC為⊙O切線；
（2）解：①連結(jié)BC，如圖，
在Rt△ACD中，∵CD=1，AC=$\sqrt{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，即$\sqrt{5}$：AB=2：$\sqrt{5}$，
∴AB=$\frac{5}{2}$，
∴⊙O半徑長(zhǎng)為$\frac{5}{4}$；
②∵OC∥AD，
∴△POC∽△PAD，
∴$\frac{PO}{PA}$=$\frac{OC}{AD}$，即$\frac{PB}{PB+\frac{5}{2}}$=$\frac{\frac{5}{4}}{2}$，
∴BP=$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．