Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)線段OC的中點(diǎn)A，交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線EF的解析式為y=mx+n．
（1）求反比例函數(shù)和直線EF的解析式；
（2）求△OEF的面積；
（3）請(qǐng)結(jié)合圖象直接寫出不等式$mx+n-\frac{k}{x}$＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B、D的坐標(biāo)結(jié)合矩形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出k值，由此即可得出反比例函數(shù)解析式；由點(diǎn)F的橫坐標(biāo)、點(diǎn)E的縱坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)解析式即可得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，再由點(diǎn)E、F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線EF的解析式；
（2）通過(guò)分割圖形并利用三角形的面積公式即可求出結(jié)論；
（3）觀察函數(shù)圖象，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），
∵點(diǎn)A為線段OC的中點(diǎn)，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），
∴k=3×2=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$；
把x=6代入y=$\frac{6}{x}$得y=$\frac{6}{6}$=1，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1）；
把y=4代入y=$\frac{6}{x}$得4=$\frac{6}{x}$，解得：x=$\frac{3}{2}$，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，4）．
把F（6，1）、E（$\frac{3}{2}$，4）代入y=mx+n中得：
$\left\{\begin{array}{l}{1=6m+n}\\{4=\frac{3}{2}m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2}{3}}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+5．
（2）S_△OEF=S_矩形BCDO-S_△ODE-S_△OBF-S_△CEF=4×6-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$×（6-$\frac{3}{2}$）×（4-1）=$\frac{45}{4}$．
（3）不等-$\frac{2}{3}$x+5-$\frac{6}{x}$＞0，可變形為-$\frac{2}{3}$x+5＞$\frac{6}{x}$．
觀察函數(shù)圖象可發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)$\frac{3}{2}$＜x＜6時(shí)，一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+5的圖象在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象的上方，
∴不等-$\frac{2}{3}$x+5-$\frac{6}{x}$＞0的解集為：$\frac{3}{2}$＜x＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A、E、F的坐標(biāo)；（2）分割圖形求面積；（3）觀察函數(shù)圖象解不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．