Question

13．如圖，直線y=$\frac{4}{3}$x與反比例函數(shù)的圖象交于點A（3，a），第一象限內(nèi)的點B在這個反比例函數(shù)圖象上，OB與x軸正半軸的夾角為α，且tanα=$\frac{1}{3}$．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點B的坐標；
（3）求S_△OAB．

Answer 1

分析 （1）由點A在直線上，將x=3代入帶直線解析式中求出a值，再由點A的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出k值，由此即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)點B坐標為（x，$\frac{12}{x}$），利用正切的定義結(jié)合tanα=$\frac{1}{3}$，即可得出關(guān)于x的分式方程，解方程即可得出x的值，由此即可得出點B的坐標；
（3）設(shè)直線OB為y=kx，由點B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線OB的解析式，過A點做AC⊥x軸，交OB于點C，利用分割法結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{4}{3}$x與反比例函數(shù)的圖象交于點A（3，a），
∴a=$\frac{4}{3}$×3=4，
∴點A的坐標為（3，4），
∴k=3×4=12，
∴反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{12}{x}$．
（2）∵點B在這個反比例函數(shù)圖象上，設(shè)點B坐標為（x，$\frac{12}{x}$），
∵tanα=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\frac{12}{x}}{x}$=$\frac{1}{3}$，解得：x=±6，
∵點B在第一象限，
∴x=6，
∴點B的坐標為（6，2）．
（3）設(shè)直線OB為y=kx，（k≠0），將點B（6，2）代入得：2=6k，
解得：k=$\frac{1}{3}$，
∴OB直線解析式為：y=$\frac{1}{3}$x．
過A點做AC⊥x軸，交OB于點C，如圖所示：

則點C坐標為（3，1），
∴AC=3．
S_{△OAB的面積}=S_{△OAC的面積}+S_{△ACB的面積}=$\frac{1}{2}$×|AC|×6=9．
∴△OAB的面積為9．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點A的坐標；（2）利用正切的定義找出關(guān)于x的一元二次方程；（3）求出點C的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，利用一次函數(shù)解析式求出點的坐標，再由點的坐標結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出反比例函數(shù)解析式是關(guān)鍵．