Question

3．如圖，射線PA切⊙O于點(diǎn)A，連接PO．
（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線；
（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點(diǎn)B，AB=AP=4，求$\widehat{AB}$的長．

Answer 1

分析 （1）按照作一個(gè)角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線；
（2）首先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進(jìn)而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）作圖如右圖，
連接OA，過O作OB⊥PC，
∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥PA，
又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，
∴OA=OB，即d=r，
∴PC是⊙O的切線；
（2）∵PA、PC是⊙O的切線，
∴PA=PB，
又∵AB=AP=4，
∴△PAB是等邊三角形，
∴∠APB=60°，
∴∠AOB=120°，∠POA=60°，
在Rt△AOP中，tan60°=$\frac{4}{OA}$
∴OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
∴${L}_{\widehat{AB}}$=$\frac{120×\frac{4\sqrt{3}}{3}×π}{180}$=$\frac{8\sqrt{3}}{9}π$．

點(diǎn)評 本題考查了尺規(guī)作圖、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及弧長的計(jì)算，求出圓心角和半徑長是解決問題的關(guān)鍵．