Question

4．如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF，對角線交于點O，連結(jié)AO，如果AB=4，AO=4$\sqrt{2}$，那么AC的長等于（　　）

• A． 12
• B． 16
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在AC上截取CG=AB=4，連接OG，根據(jù)B、A、O、C四點共圓，推出∠ABO=∠ACO，證△BAO≌△CGO，推出OA=OG=4$\sqrt{2}$，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根據(jù)勾股定理求出AG，即可求出AC．

解答 解：在AC上截取CG=AB=4，連接OG，
∵四邊形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，
∴B、A、O、C四點共圓，
∴∠ABO=∠ACO，
在△BAO和△CGO中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CG}\\{∠BAO=∠GCO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△CGO（SAS），
∴OA=OG=4$\sqrt{2}$，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{A{O}^{2}+O{G}^{2}}$=8，
即AC=AG+CG=8+4=12．
故選A．

點評 本題主要考查對勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．