Question

10．如圖，已知AD為△ABC的角平分線(xiàn)，AD的垂直平分線(xiàn)交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E．求證：
（1）△BAF∽△ACF；
（2）AB²：AC²=BF：CF．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出AF=DF，進(jìn)而利用外角的性質(zhì)得出∠B=∠1，即可得出△ACF∽△BAF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求由相似三角形的性質(zhì)得出即可．

解答 證明：（1）連接AF，
∵AD的垂直平分線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，
∴AF=DF，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，
∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF；

（2）∵△ACF∽△BAF，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{BF}{AF}$，
∴AF²=FB•FC，
∴$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{A{F}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{FB}{CF}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠B=∠1是解題關(guān)鍵．