Question

10．探究活動：
利用函數(shù)y=（x-1）（x-2）的圖象（如圖1）和性質(zhì)，探究函數(shù)y=$\sqrt{（x-1）（x-2）}$的圖象與性質(zhì)．下面是小東的探究過程，請補充完整：
（1）函數(shù)y=$\sqrt{（x-1）（x-2）}$的自變量x的取值范圍是x≤1或x≥2；
（2）如圖2，他列表描點畫出了函數(shù)y=$\sqrt{（x-1）（x-2）}$圖象的一部分，請補全函數(shù)圖象；
解決問題：
設(shè)方程$\sqrt{（x-1）（x-2）}$-$\frac{1}{4}$x-b=0的兩根為x₁、x₂，且x₁＜x₂，方程x²-3x+2=$\frac{1}{4}$x+B的兩根為x₃、x₄，且x₃＜x₄．若1＜b＜$\sqrt{2}$，則x₁、x₂、x₃、x₄的大小關(guān)系為x₁＜x₃＜x₄＜x₂（用“＜”連接）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，列出不等式，解之即可；
（2）由于x≤1或x≥2，所以函數(shù)圖象應(yīng)該是兩條分支，根據(jù)對稱性，補全另一分支即可；
（3）將方程的根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標，作出函數(shù)圖象，一目了然．

解答 解：（1）∵（x-1）（x-2）≥0，
∴x≤1或x≥2；
（2）根據(jù)自變量x的取值范圍可知，當x≥2時也有對應(yīng)的函數(shù)圖象，
補全后的函數(shù)圖象如下圖所示：

（3）方程$\sqrt{（x-1）（x-2）}$-$\frac{1}{4}$x-b=0等價于方程$\sqrt{（x-1）（x-2）}$=$\frac{1}{4}$x+b，
方程的兩根x₁、x₂相當于函數(shù)y=$\sqrt{（x-1）（x-2）}$與函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x+b圖象的兩個交點的橫坐標，
方程x²-3x+2=$\frac{1}{4}$x+b的兩根為x₃、x₄，相當于函數(shù)y=x²-3x+2=（x-1）（x-2）與函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x+b圖象的兩個交點的橫坐標，
又∵1＜b＜$\sqrt{2}$，
所以，在同一平面直角從標系中，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：

故x₁＜x₃＜x₄＜x₂．

點評 本題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍、函數(shù)圖象的畫法、函數(shù)圖象的交點問題，題目新穎，但難度不大．第（3）問體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將方程與函數(shù)巧妙地結(jié)合在一起，方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的橫坐標，利用數(shù)形結(jié)合，將看似抽像的問題變得形像化了，從而使問題解決起來變得容易．