Question

18．如圖，B（6，0），E（0，6），直線y=3x+3與x軸、y軸交于A、C兩點(diǎn)，∠CPE=∠CAB
（1）求∠PCA的度數(shù)；
（2）求P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)線段PC與x軸交于點(diǎn)M（m，0）（m＜0），作線段OB中點(diǎn)N，連接CN，得到△BEO是等腰直角三角形，由直線y=3x+3，求得點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，3），根據(jù)三角形的中位線得到CN∥EB，由平行線的性質(zhì)得到∠EBO=∠CNM，由于∠CPE=∠EBO+∠AMC，∠CAB=∠ACM+∠AMC 推出∠CPE=∠CAB，得到∠ACM=∠OBE=45°，即可得到結(jié)論；
（2）通過△CNM∽△ACM 得到$\frac{CN}{AC}=\frac{CM}{AM}$，根據(jù)勾股定理得到CN=$\sqrt{2}OC=3\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CM=$\sqrt{{3}^{2}+{m}^{2}}$，于是得到$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+9}}{-1-m}$，求點(diǎn)M（-6，0），得到直線CM的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+3，直線BE的解析式為：y=-x+6，解方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）延長(zhǎng)線段PC與x軸交于點(diǎn)M（m，0）（m＜0），作線段OB中點(diǎn)N，連接CN，
∵B（6，0），E（0，6），
∴OB=OE=6，
∴∠OEB=∠OBE=45°，
 在直線y=3x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，
即點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，3），
∴OC=3，
∵E（0，6），
∴OE=6，
∴OC=CE，
∵ON=NB，
∴CN∥EB，
∴∠EBO=∠CNM，
∵∠CPE=∠EBO+∠AMC，∠CAB=∠ACM+∠AMC，
又∵∠CPE=∠CAB，
∴∠ACM=∠OBE=45°，
∴∠PCA=135°；

 （2）∵∠EBO=∠ACM，
∴∠CNM=∠ACM，
又∵∠AMC是公共角，
∴△CNM∽△ACM，
∴$\frac{CN}{AC}=\frac{CM}{AM}$，
∵點(diǎn)N是線段OB中點(diǎn)，點(diǎn)B（6，0），
∴點(diǎn)N（3，0），
∴CN=$\sqrt{2}OC=3\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CM=$\sqrt{{3}^{2}+{m}^{2}}$，
∴$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+9}}{-1-m}$，
解得m=-6，
∴點(diǎn)M（-6，0），
∴直線CM的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+3，直線BE的解析式為：y=-x+6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+3}\\{y=x+6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的中位線，掌握的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．