Question

1．設(shè)拋物線(xiàn)y=a（x-m）²+n（m≠0）與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為C、D．稱(chēng)直線(xiàn)AB為拋物線(xiàn)的伴隨直線(xiàn)，四邊形ABCD為拋物線(xiàn)的伴隨四邊形．
（1）求拋物線(xiàn)y=（x-2）²+1的伴隨直線(xiàn)的解析式，伴隨四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若拋物線(xiàn)y=a（x-m）²+n（m≠0）的伴隨直線(xiàn)是y=-2x+5，試解決下列問(wèn)題：
①若伴隨四邊形的面積為5，求此拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②若伴隨四邊形ABCD是矩形，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD是一個(gè)以PD為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定A（0，5），而B(niǎo)（2，1），再利用關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到C（0，-5），D（-2，-1），然后利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)AB的解析式為y=-2x+5，
（2）①先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A（0，-5），利用關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到C（0，-5），而B(niǎo)（m，n），由與ICI函數(shù)解析式得n=-2m+5，于是根據(jù)S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}得到$\frac{1}{2}$•（5+5）•|m|=$\frac{1}{2}$•5，解得m=±$\frac{1}{2}$，再分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的n的值，從而可得此拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)得BD=AC=10，而B(niǎo)（m，n），D（-m，-n），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到（m+m）²+（n+n）²=10²，把n=-2m+5代入整理得m²-4m=0，解得m₁=4，m₂=0（舍去），所以B（4，-3），接著以B點(diǎn)為圓心，10為半徑畫(huà)弧交直線(xiàn)x=4于P點(diǎn)，則△BPD是一個(gè)以PD為底邊的等腰三角形，然后寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=（x-2）²+1=5，則A（0，5），而B(niǎo)（2，1），
所以C（0，-5），D（-2，-1），
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，
把A（0，5），B（2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=5}\end{array}\right.$，
所以直線(xiàn)AB的解析式為y=-2x+5，
所以?huà)佄锞�(xiàn)y=（x-2）²+1的伴隨直線(xiàn)的解析式為y=-2x+5，伴隨四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，5），（2，1），（0，-5），（-2，-1）；
（2）①當(dāng)x=0時(shí)，y=-2x+5=5，則A（0，-5），
所以C（0，-5），
而B(niǎo)（m，n），
∴n=-2m+5，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，
∴$\frac{1}{2}$•（5+5）•|m|=$\frac{1}{2}$•5，解得m=±$\frac{1}{2}$，
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，n=-2×$\frac{1}{2}$+5=4；當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時(shí)，n=-2×（-$\frac{1}{2}$）+5=6，
所以此拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，4）或（-$\frac{1}{2}$，6）；
②存在．
如圖，∵四邊形ABCD為矩形，
∴BD=AC=5+5=10，
而B(niǎo)（m，n），D（-m，-n），
∴（m+m）²+（n+n）²=10²，
把n=-2m+5代入整理得m²-4m=0，解得m₁=4，m₂=0（舍去），
則B（4，-3），
拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=4，
∵點(diǎn)P在直線(xiàn)x=4上，BP=BD=10，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，7）或（4，-13）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)；提高閱讀理解能力．