Question

18．某學(xué)校興趣小組的同學(xué)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，整理出某種商品在第x天（1≤x≤80）天的售價(jià)與銷量的相關(guān)信息如下表：

時(shí)間x（天）	1≤x＜45	45≤x≤80
售價(jià)（元/件）	x+40	80
每天銷量（件）	200-2x

已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，設(shè)該商品的每天銷售利潤為y元．
（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？
（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于5400元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)單價(jià)乘以數(shù)量，可得利潤，可得答案；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案；
（3）根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于5400，一次函數(shù)值大于或等于5400，可得不等式，根據(jù)解不等式組，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)1≤x＜45時(shí)，y=（200-2x）（x+40-20）=-2x²+160x+4000，
當(dāng)45≤x≤80時(shí)，
y=（200-2x）（80-20）=-120x+12000．
綜上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+160x+4000（1≤x＜45）}\\{-120+12000（45≤x≤80）}\end{array}\right.$；

（2）當(dāng)1≤x＜45時(shí)，二次函數(shù)開口向下，二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=40，
當(dāng)x=40時(shí)，y_最大=-2×40²+160×45+4000=7200，
當(dāng)45≤x≤80時(shí)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=45時(shí)，y_最大=6600，
因?yàn)?200＞6600，
綜上所述，該商品第40天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是7200元；

（3）當(dāng)1≤x＜45時(shí)，y=-2x²+160x+4000≥5400，解得10≤x≤70，
則當(dāng)10≤x＜45時(shí)，y＞5400，
當(dāng)45≤x≤80時(shí)，y=-120x+12000≥5400，解得x≤55，
當(dāng)45≤x≤55時(shí)，y＞5400．
綜上所述：當(dāng)10≤x≤55時(shí)，每天銷售利潤不低于5400元，即共有46天銷售利潤不低于5400元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用單價(jià)乘以數(shù)量求函數(shù)解析式，利用了函數(shù)的性質(zhì)求最值．