Question

15．△ABC中，∠ACB＜90°，以AB為一邊作等邊△ABD，且點D與點C在直線AB同側(cè)，平面內(nèi)有一點E與點D分別在直線AB兩側(cè)，且BE=BC，∠ABE=∠DBC，連接CD、AE，AC=5，BC=3．
（1）求證：CD=AE；
（2）點E關(guān)于直線AB的對稱點為點F，判斷△BFC的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)線段CD最短時，請直接寫出四邊形AEBF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS判定△ABE≌△DBC，即可得出CD=AE；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，即可得出BF=BC，∠CBF=60°，進而判定△BCF是等邊三角形；
（3）根據(jù)AF+FC≥AC，即可得到AF+3≥5，即AF≥2，因而得到AF的最小值為2，即CD的最小值為2，此時AF+FC=AC，即點F在AC上，再過B作BG⊥AC于G，則Rt△BFG中，∠FBG=30°，求得△ABF的面積，即可得到四邊形AEBF的面積．

解答 解：（1）如圖，∵△ABD是等邊三角形，
∴AB=DB，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD=AE；

（2）△BFC是等邊三角形，
理由：如圖，∵點E關(guān)于直線AB的對稱點為點F，
∴AB垂直平分EF，
∴BF=BE，∠ABE=∠ABF，
又∵BC=BE，∠ABE=∠DBC，
∴BF=BC，∠ABF=DBC，
∵∠ABD=∠ABF+∠DBF=60°，
∴∠DBC+∠DBF=60°，
即∠CBF=60°，
∴△BCF是等邊三角形；

（3）∵點E關(guān)于直線AB的對稱點為點F，△ABE≌△DBC，
∴AF=AE，AE=DC，
∴AF=CD，
由（2）可得，等邊三角形BCF中，F(xiàn)C=BC=3，
∵AF+FC≥AC，
∴AF+3≥5，即AF≥2，
∴AF的最小值為2，即CD的最小值為2，
此時AF+FC=AC，即點F在AC上，
如圖所示，過B作BG⊥AC于G，則Rt△BFG中，∠FBG=30°，
∴FG=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$，
∴BG=$\sqrt{3}$FG=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴△ABF的面積=$\frac{1}{2}$AF×BG=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴四邊形AEBF的面積=2×△ABF的面積=3$\sqrt{3}$．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形，根據(jù)兩點之間，線段最短，得到AF的最小值為2，即CD的最小值為2．