Question

4．如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且與小圓相交于點A、與大圓相交于點B．小圓的切線AC與大圓相交于點D，且CO平分∠ACB．
（1）試判斷BC所在直線與小圓的位置關系，并說明理由；
（2）試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）若AB=16cm，BC=20cm，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析 （1）只要證明OE垂直BC即可得出BC是小圓的切線，即與小圓的關系是相切．
（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，從而得出EB=AD，從而得到三者的關系是前兩者的和等于第三者．
（3）根據(jù)大圓的面積減去小圓的面積即可得到圓環(huán)的面積計算即可．

解答 解：（1）BC所在直線與小圓相切．
理由如下：
過圓心O作OE⊥BC，垂足為E；
∵AC是小圓的切線，AB經(jīng)過圓心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直線是小圓的切線．

（2）AC+AD=BC．
理由如下：
連接OD．
∵AC切小圓O于點A，BC切小圓O于點E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD與Rt△OEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD．

（3）∵∠BAC=90°，AB=16cm，BC=20cm，
∴AC=12cm；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC-AC=8cm，
∵圓環(huán)的面積為：S=π（OD）²-π（OA）²=π（OD²-OA²），
又∵OD²-OA²=AD²，
∴S=8²π=64π（cm²）．

點評 本題考查了切線的判定，全等三角形的判定等知識點．要證某線是圓的切線，①已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可，②所證切線與圓的交點不明確，可以過圓心作該直線的垂線段，證明垂線段的長等于半徑．