Question

9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=k₁x+b與反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象交于點A（-1，6）和點B（3，m），與y軸交于點C，與x軸交于點D．
（1）求一次函數(shù)y=k₁x+b和反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的表達式；
（2）點P是雙曲線y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上的一點，且滿足S_△PCD=S_△DOC，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）將A坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出k₂的值，即可確定出反比例函數(shù)解析式；將B坐標代入反比例解析式中求出m的值，確定出B坐標，將A與B坐標代入一次函數(shù)解析式中求出k₁與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）如圖，當(dāng)P在第二象限時，連接PC，PO，作PE⊥y軸于E，求得D的橫坐標為2，根據(jù)已知條件得到PE=OD=2，求得P的橫坐標為-2，把x=-2代入y=-$\frac{6}{x}$中得y=3，于是得到結(jié)論；同理可得當(dāng)點P在第四象限時，求得P（2，-3）．

解答 解：∵A（-1，6）在y=$\frac{{k}_{2}}{x}$上得k₂=-6．
∴y=-$\frac{6}{x}$，
∵B（3，m）反比例函數(shù)y=-$\frac{6}{x}$的圖象上，
∴m=-2，
因為y=k₁x+b過A（-1，6）、B（3，-2）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=-{k}_{1}+b}\\{-2=3{k}_{1}+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的表達式是y=-2x+4；

（2）如圖，當(dāng)P在第二象限時，連接PC，PO，作PE⊥y軸于E，把y=0代入y=-2k+4中得x=2，
∴D的橫坐標為2，
∵S_△PCD=S_△DOC，
∴$\frac{1}{2}$CO•PE=$\frac{1}{2}$CO•OD，
∴PE=OD=2，
∴P的橫坐標為-2，
把x=-2代入y=-$\frac{6}{x}$中得y=3，
∴此時點P的坐標為（-2，3），
同理可得當(dāng)點P在第四象限時，P（2，-3），
∴點P的坐標是（-2，3），（2，-3）．

點評 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．