Question

9．在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實(shí)這些矩形的長與寬之比都為$\sqrt{2}$：1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形”ABCD中，P為DC邊上一定點(diǎn)，且CP=BC，如圖所示．

（1）如圖①，求證：BA=BP；
（2）如圖②，點(diǎn)Q在DC上，且DQ=CP，若G為BC邊上一動點(diǎn)，當(dāng)△AGQ的周長最小時，求$\frac{CG}{GB}$的值；
（3）如圖③，已知AD=1，在（2）的條件下，連接AG并延長交DC的延長線于點(diǎn)F，連接BF，T為BF的中點(diǎn)，M、N分別為線段PF與AB上的動點(diǎn)，且始終保持PM=BN，請證明：△MNT的面積S為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，設(shè)AD=BC=a，則AB=CD=$\sqrt{2}$a．通過計(jì)算得出AB=BP=$\sqrt{2}$a，由此即可證明；
（2）如圖②中，作Q關(guān)于BC的對稱點(diǎn)Q′，連接AQ′交BC于G，此時△AQG的周長最�。�設(shè)AD=BC=QD=a，則AB=CD=$\sqrt{2}$a，可得CQ=CQ′=$\sqrt{2}$a-a，由CQ′∥AB，推出$\frac{CG}{GB}$=$\frac{CQ′}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}a-a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$；
（3）如圖③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．由S_△MNT=$\frac{1}{2}$•TH•CK+$\frac{1}{2}$•TH•BK=$\frac{1}{2}$HT•（KC+KB）=$\frac{1}{2}$HT•BC=$\frac{1}{2}$HT，利用梯形的中位線定理求出HT即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖①中，設(shè)AD=BC=a，則AB=CD=$\sqrt{2}$a．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵PC=AD=BC=a，
∴PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴BA=BP．

（2）解：如圖②中，作Q關(guān)于BC的對稱點(diǎn)Q′，連接AQ′交BC于G，此時△AQG的周長最�。�

設(shè)AD=BC=QD=a，則AB=CD=$\sqrt{2}$a，
∴CQ=CQ′=$\sqrt{2}$a-a，
∵CQ′∥AB，
∴$\frac{CG}{GB}$=$\frac{CQ′}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}a-a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

（3）證明：如圖③中，作TH∥AB交NM于H，交BC于K．

由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD=$\sqrt{2}$，DP=CF=$\sqrt{2}$-1，
∵S_△MNT=$\frac{1}{2}$•TH•CK+$\frac{1}{2}$•TH•BK=$\frac{1}{2}$HT•（KC+KB）=$\frac{1}{2}$HT•BC=$\frac{1}{2}$HT，
∵TH∥AB∥FM，TF=TB，
∴HM=HN，
∴HT=$\frac{1}{2}$（FM+BN），
∵BN=PM，
∴HT=$\frac{1}{2}$（FM+PM）=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{1}{2}$•（1+$\sqrt{2}$-1）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△MNT=$\frac{1}{2}$HT=$\frac{\sqrt{2}}{4}$=定值．

點(diǎn)評 本題考查相似形綜合題、矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、梯形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造梯形的中位線解決問題，屬于中考壓軸題．