Question

18．如圖，平面上有A、B、C三點．
（1）經(jīng)過A、B、C三點畫⊙O；（保留畫圖痕跡，不寫畫法）
（2）如果∠OBA=45°，∠OBC=60°，AB=4cm，求⊙O的半徑和BC的長．

Answer 1

分析 （1）分別作AB和BC的垂直平分線，它們的交點為點O，然后以O點為圓心，OB為半徑作圓即可；
（2）連結OB，AB的垂直平分線交AB于D，BC的垂直平分線交BC于E，則DB=$\frac{1}{2}$AB=2，BE=$\frac{1}{2}$BC，先在Rt△ODB中，由∠OBD=45°可得OB=$\sqrt{2}$BD=2$\sqrt{2}$，然后在Rt△OBE中利用∠OBC的余弦可求出BE，從而得到BC的長．

解答 解：（1）如圖；
（2）連結OB，AB的垂直平分線交AB于D，BC的垂直平分線交BC于E，
∵OD垂直平分AB，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△ODB中，∵∠OBD=45°，
∴OB=$\sqrt{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∵OE垂直平分BC，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△OBE中，∵∠OBC=60°，
∴BE=OBcos60°=2$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴BC=2BE=2$\sqrt{2}$，
即⊙O的半徑為2$\sqrt{2}$和BC的長為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形的外接圓與外心．