Question

6．如圖，已知正方形ABCD的邊長為40cm，E為AD邊的中點，G為BC的延長線上一點，連結(jié)EG交CD于點F．
（1）若FE=FC，求FC的長；
（2）在（1）的條件下，現(xiàn)有一動點P，從A點出發(fā)，以5cm/s的速度沿A→E→F→C的路線運動，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．
①當(dāng)t為何值時，矩形PMBN恰好是一個正方形？
②若設(shè)矩形PMBN的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③在點P從A點運動到C點的整個過程中，試問是否存在這樣的t的值，使得矩形PMBN的面積恰為888？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)FC=xcm，則EF=FC=xcm，DF=（40-x）cm，在直角△DEF中，利用勾股定理即可列方程求解；
（2）①以BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立坐標(biāo)系，求得直線EF的解析式，根據(jù)P的橫縱坐標(biāo)相等即可求解；
②分成0＜t≤4，4＜t≤9，9＜t≤$\frac{65}{4}$三種情況進行討論，利用矩形的面積公式以及相似三角形的性質(zhì)即可求解；
③根據(jù)②的結(jié)果列方程求解即可．

解答 解：（1）設(shè)FC=xcm，則EF=FC=xcm，DF=（40-x）cm．
在直角△DEF中，DE2+DF2=EF2，
則20²+（40-x）²=x²，
解得：x=25，
則FC=25cm；
（2）①當(dāng)P在AE上和FC上時，矩形PMBN不是正方形．
當(dāng)P在EF上時，如圖（1），如圖建立坐標(biāo)系，則E的坐標(biāo)是（20，40），F(xiàn)的坐標(biāo)是（40，25）．
設(shè)EF的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{20k+b=40}\\{40k+b=25}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=55}\end{array}\right.$，
則直線EF的解析式是：y=-$\frac{3}{4}$x+55，
設(shè)P的坐標(biāo)是（m，m），
代入y=-$\frac{3}{4}$x+55中得：m=-$\frac{3}{4}$m+55，
解得：m=$\frac{220}{7}$
則P的坐標(biāo)是（$\frac{220}{7}$，$\frac{220}{7}$）；
則PE=$\sqrt{（\frac{220}{7}-20）^{2}+（\frac{220}{7}-40）^{2}}$=$\frac{100}{7}$．
則t=（20+$\frac{100}{7}$）÷5=$\frac{48}{7}$（s）；
②當(dāng)0＜t≤4時，S=40t；
當(dāng)4＜t≤9時，P在EF上，如圖（2），則PE=5t-20，作PG⊥AD于點G，
則△EGP∽△EDF，
則$\frac{GP}{DF}=\frac{EP}{EF}$=$\frac{EG}{ED}$，
∵直角△DEF中，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}+1{5}^{2}}$=25，
∴$\frac{GP}{15}$=$\frac{5t-20}{25}$=$\frac{EG}{20}$，
解得：GP=3t-12，EG=4t-16．
∴PN=40-GP=40-（3t-12）=52-3t，PM=40-DG=AE+EG=20+4t-16=4+4t，
則S=（52-3t）（4+4t）=-12t²+200t+208；
當(dāng)9＜t≤$\frac{65}{4}$時，P在FC上，N與C重合，PM=40，PN=5t-20-25=5t-45．
則S=40（5t-45）=200t-180．
即S=$\left\{\begin{array}{l}{40t（t≤4）}\\{-12{t}^{2}+200t+208（4＜t≤9）}\\{200t-180（9＜t≤\frac{65}{4}）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)0＜t≤4時，S的最大值是40×4=160＜888．
當(dāng)4＜t≤9時，-12t²+200t+208=888，即3t²-50t+85=0，
解得：t₁=$\frac{25+\sqrt{370}}{3}$（舍去），t₂=$\frac{25-\sqrt{370}}{3}$．
則t=$\frac{25-\sqrt{370}}{3}$．
當(dāng)9＜t≤$\frac{65}{4}$時，200t-180=888，
解得：t=$\frac{267}{50}$＜9（舍去）．
總之，當(dāng)t=$\frac{25-\sqrt{370}}{3}$時，S恰好是888．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，正確進行討論是解決本題的關(guān)鍵．