Question

7．閱讀理解：對于任意正實數(shù)a、b，∵${（\sqrt{a}-\sqrt）^2}$≥0，∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，只有當a=b時，等號成立．
結(jié)論：在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2$\sqrt{p}$，只有當a=b時，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．   根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
（1）若m＞0，只有當m=1時，m+$\frac{1}{m}$有最小值2；
（2）若m＞0，只有當m=2時，2m+$\frac{8}{m}$有最小值8；
（3）已知直線L₁：y=$\frac{1}{2}$x+1，若點C為雙曲線y=-$\frac{8}{x}$上任意一點，作CD∥y軸交直線L₁于點D，求線段CD長的最小值及此時C、D點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由a+b≥2$\sqrt{p}$，只有當a=b時，a+b有最小值2$\sqrt{p}$，可求得當且僅當m=$\frac{1}{m}$時，m+$\frac{1}{m}$有最小值；
（2）由a+b≥2$\sqrt{p}$，只有當a=b時，a+b有最小值2$\sqrt{p}$，即可求得答案；
（3）首先設(shè)C$（n，\frac{-8}{n}）$，則：D$（n，\frac{1}{2}n+1）$，即可表示出CD的長，再由若ab為定值p，則a+b≥2$\sqrt{p}$，只有當a=b時，a+b有最小值2$\sqrt{p}$，即可求得答案．

解答 解：（1）∵m＞0，
∴m+$\frac{1}{m}$≥2$\sqrt{m•\frac{1}{m}}$=2，當且僅當m=$\frac{1}{m}$時，即m=1時，m+$\frac{1}{m}$有最小值，最小值為2；
故答案為：1，2；

（2）∵m＞0，
∴2m+$\frac{8}{m}$≥2$\sqrt{2m•\frac{8}{m}}$=8，當且僅當2m=$\frac{8}{m}$時，即m=2時，2m+$\frac{8}{m}$有最小值，最小值為8；
故答案為：2，8

（3）設(shè)C$（n，\frac{-8}{n}）$，則：D$（n，\frac{1}{2}n+1）$，
∴CD=$（\frac{1}{2}n+1）-\frac{-8}{n}=\frac{1}{2}n+\frac{8}{n}+1≥2\sqrt{\frac{1}{2}n•\frac{8}{n}}+1=5$，
∴CD最短為5，此時$\frac{1}{2}n=\frac{8}{n}$，n=4，
∴C（4，-2），D（4，3）．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了幾何不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)上點的性質(zhì)．注意理解幾何不等式以及準確的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．