Question

7．如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點A（3，m），點B是線段OA的中點，點E（n，4）在反比例函數(shù)的圖象上，點F在x軸上，若∠EAB=∠EBF=∠AOF，則點F的橫坐標為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)點A在直線y=2x上可以求得點A的坐標，從而可以求得點B的坐標和k的值，進而求得點E的坐標，然后根據(jù)三角形相似即可求得OF的長度，本題得以解決．

解答 解：∵直線y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點A（3，m），
∴m=2×3=6，
∴點A（3，6），
∴6=$\frac{k}{3}$，得k=18，
∵點B是線段OA的中點，點E（n，4）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴點B（1.5，3），4=$\frac{18}{n}$，得n=4.5，
∴點E（4.5，4），
∴AB=$\sqrt{（3-1.5）^{2}+（6-3）^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
AE=$\sqrt{（3-4.5）^{2}+（6-4）^{2}}$=$\frac{5}{2}$
OB=$\sqrt{（1.5-0）^{2}+（3-0）^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵∠EAB=∠EBF=∠AOF，
∠ABE+∠EAB+∠AEB=180°，
∠ABE+∠EBF+∠OBF=180°，
∴∠AEB=∠OBF，
∵∠EAB=∠BOF，
∴△ABE∽△OFB，
∴$\frac{AB}{OF}=\frac{AE}{OB}$，
即$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{2}}{OF}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$，
解得，OF=$\frac{9}{2}$，
即點F的橫坐標是$\frac{9}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、三角形相似，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用函數(shù)的思想和三角形相似的知識解答．