Question

14．（1）如圖1，線段AD上一點(diǎn)B，分別以AB，BD為邊在線段AD的同側(cè)作等邊△ABC，等邊△BDE，連接AE，CD，求證：BI=BJ．
（2）如圖2，將（1）中其他條件不變，若F，G分別是AE，CD的中點(diǎn)，連接GB，F(xiàn)B，求證：GF=GB．
（3）如圖3，將（2）中其它條件不變，若A、B、D三點(diǎn)不在同一條直線時(shí)，第（2）中的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)先寫出結(jié)論，然后證明．

Answer 1

分析 （1）利用SAS證明△CBD與△ABE全等，再證明△BDI與△BEJ全等即可；
（2）利用SAS證明△FCB與△GAB全等，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；
（3）利用SAS證明△ABE與△CBD全等，再利用SAS證明△GBE與△FBD全等，得出等邊三角形GBF，即可得出．

解答 證明：（1）∵∠CBD=∠CBE+∠EBD=∠CBE+60°，∠ABE=∠CBE+∠ABC=∠CBE+60°，
∴∠CBD=∠ABE，
∵BD=BE，BC=AB，
在△CBD與△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}\\{∠CBD=∠ABE}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ABE（SAS），
∴∠BDI=∠BEJ，
∵∠CBE=180°-∠CBA-∠DBE=180°-60°-60°=60°=∠EBD，
在△BDI與△BEJ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDI=∠BEJ}\\{∠CBE=∠EBD}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△BDI≌△BEJ（AAS），
∴BI=BJ；
（2）在△FCB與△GAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=AG}\\{∠FCB=∠GAB}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△FCB≌△GAB（SAS），
∴GB=FB；
（3）成立，理由如下：
∵∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE與△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB；
∵G，F(xiàn)分別為AE，CD的中點(diǎn)，
∴GE=FD，
在△GBE與△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{GE=FD}\\{∠AEB=∠CDB}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△GBE≌△FBD（SAS），
∴GB=BF，∠GBE=∠FBD，
∠GBE-∠FBE=∠FBD-∠FBE，
∴∠GBF=∠EBD=60°，
∴△GBF是等邊三角形，
∴GF=GB．

點(diǎn)評(píng) 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用SAS證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)而證明．