Question

17．△ABC中，E是AC邊上任意一點(diǎn)（與A、C兩點(diǎn)不重合），G是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且始終滿足條件BG=AE，連接EG交AB于點(diǎn)D．
（1）如圖1，若AB=BC=CA=12，且GE⊥AC，求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若CA=CB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F．
 ①求證：DE=DG；
 ②求DF：AB的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作GH∥AC交AB的延長(zhǎng)線于H，先證明△BHG是等邊三角形，可以推出DB=BH=BG=GH，再證明△ADE≌△HDG得AD=DH=2AE，AB=3AE，由此即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，①作GH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H，先證明△EFA≌△GHB，創(chuàng)造條件再證明△EDF≌△GDH即可．
②由△EFA≌△GHB，△EDF≌△GDH得AF=BH，DF=DH，所以AB=FH=2FD即可解決．

解答 （1）解：如圖1中，作GH∥AC交AB的延長(zhǎng)線于H，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠HBG=60°，
∵GH∥AC，
∴∠A=∠H=60°，
∴∠H=∠HBG=60°，
∴△HBG是等邊三角形，
∴BG=GH=AE，
∵GE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=∠HDG=30°，
∵∠HBG=∠BDG+∠BGD，
∴∠BDG=∠BGD=30°，
∴DB=BG=BH，
在△ADE和△HDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠H}\\{∠ADE=∠HDG}\\{AE=GH}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△HDG，
∴AD=DH=2AE，
∴AB=3AE，
∵AB=12，
∴AE=4．
（2）如圖2中，

①作GH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于H．
∵EF⊥AB，
∴∠EFA=∠GHB=90°，
∵CA=CB，
∴∠A=∠CBA=∠GBH，
在△AEF和△BGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠GHB}\\{∠A=∠GBH}\\{AE=BG}\end{array}\right.$，
∴△EFA≌△GHB，
∴EF=GH，
∵EF∥GH，
∠FED=∠HGD，
在△EDF和△GDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFD=∠GHD}\\{∠EDF=∠GDH}\\{EF=GH}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△GDH，
∴ED=DG．
②∵△EFA≌△GHB，△EDF≌△GDH，
∴AF=BH，DF=DH，
∴AB=FH=2FD
∴DF：AB=1：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．