Question

9．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上，MC=NC，求證：△AMN是等邊三角形．

Answer 1

分析 連接AC，可通過(guò)HL證明Rt△ABC≌Rt△ADC得到BC=DC，再通過(guò)HL證明Rt△MBC≌Rt△NDC得到BM=DN，再根據(jù)等量關(guān)系得到AM=AN，再根據(jù)等邊三角形的判定即可證明．

解答 證明：連接AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC與Rt△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴BC=DC，
在Rt△MBC≌與Rt△NDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{MC=NC}\end{array}\right.$，
∴Rt△MBC≌Rt△NDC（HL），
∴BM=DN，
∵AB=AD，
∴AM=AN，
∵∠BAD=60°，
∴△AMN是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 考查了等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得到AM=AN．