Question

13．如圖，CD是△ABC的高，∠ACB=90°，∠DCB=∠ECB，P是AC的中點，PD的延長線交BC的延長線于點F，說明：AC•CE=2PF•CD．

Answer 1

分析 由CD是△ABC的高，得到∠CDE=∠ADC=90°，由于P是AC的中點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PD=AP=PC=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠CPD=2∠A，根據(jù)已知條件得到∠DCE=2∠DCB=2∠A，推出△PCF∽△CDE，于是得到$\frac{CP}{CD}=\frac{PF}{CE}$，等量代換得到$\frac{1}{2}$AC•CE=PF•CD，于是得到結(jié)論．

解答 證明：∵CD是△ABC的高，
∴∠CDE=∠ADC=90°，
∵P是AC的中點，
∴PD=AP=PC=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠A=∠PDA，
∠CPD=2∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠DCB=∠ECB，
∴∠DCE=2∠DCB=2∠A，
∴∠CCPF=∠DCE，
∴△PCF∽△CDE，
∴$\frac{CP}{CD}=\frac{PF}{CE}$，
∴CP•CE=PF•CD，
∴$\frac{1}{2}$AC•CE=PF•CD，
∴AC•CE=2PF•CD．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．