Question

13．已知，如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，菱形ABCD的面積為50$\sqrt{3}$，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且BE=AF=2，則△ECF的周長(zhǎng)為6$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=BC=AD=CD，加上∠B=60°，則可判斷△ABC、△ADC都為等邊三角形，所以∠BCA=60°，∠DAC=60°，AC=BC，于是可證明△BCE≌△ACF，得到CE=CF，∠BCE=∠ACF，再證明△ECF為等邊三角形，設(shè)BH=x，在Rt△BCH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=2x，CH=$\sqrt{3}$x，于是根據(jù)菱形的面積公式得到2x•$\sqrt{3}$x=50$\sqrt{3}$，解得x=5，則CH=5$\sqrt{3}$，HE=BH-BE=3，然后在Rt△CHE中，利用勾股定理計(jì)算出CE=2$\sqrt{21}$，則可得△ECF的周長(zhǎng)為6$\sqrt{21}$．

解答 解：作CH⊥AB于H，如圖，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC=AD=CD，
而∠B=60°，
∴△ABC、△ADC都為等邊三角形，
∴∠BCA=60°，∠DAC=60°，AC=BC，
在△BCE和△ACF中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AF}\\{∠B=∠FAC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF，
∴CE=CF，∠BCE=∠ACF，
而∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠ACF+∠ACE=60°，即∠ECF=60°，
∴△ECF為等邊三角形，
設(shè)BH=x，
在Rt△BCH中，BC=2x，CH=$\sqrt{3}$x，
∴2x•$\sqrt{3}$x=50$\sqrt{3}$，解得x=5，
∴CH=5$\sqrt{3}$，HE=BH-BE=5-2=3，
在Rt△CHE中，CE=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
∴△ECF的周長(zhǎng)=3×2$\sqrt{21}$=6$\sqrt{21}$．
故答案為6$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．