Question

8．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是邊BC上一點，連接OE，過點O作OE的垂線交AB于點F．求證：OE=OF．
（2）若將（1）中，“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，其他條件不變，如圖2，連接EF．
�。┣笞C：∠OEF=∠BAC．
ⅱ）試探究線段AF，EF，CE之間數(shù)量上滿足的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OB，更好正方形的性質(zhì)得到OB=OA，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，得到∠AOB=90°，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)已知條件得到O，E，F(xiàn)，B四點共圓，由圓周角定理得到∠OBA=∠OEF，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②如圖，連接BD，延長EO交AD于G于是到OG=OE，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到FG=EF，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）連接OB，
∵在正方形ABCD中，O是AC的中點，
∴OB=OA，∠OAB=∠OBA=∠OBC=45°，
∴∠AOB=90°，
又∵OE⊥OF，
∴∠AOF=∠BOE，
在△AOF和△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{OA=OB}\\{OAB=∠OBC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF；

（2）①∵∠EOF=∠FBE=90°，
∴O，E，F(xiàn)，B四點共圓，
∴∠OBA=∠OEF，
∵在矩形ABCD中，O是AC的中點，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBA，
∴∠OEF=∠BAC；
②如圖，連接BD，延長EO交AD于G，
∵BD與AC交于O，
則△OGD≌△DEB，
∴OG=OE，
∴AG=CE，
∵OF⊥GE，
∴FG=EF，
在Rt△AGF中，GF²=AG²+AF²，即EF²=CE²+AF²．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．