Question

4．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6與x軸相交于點(diǎn)A，B，與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M．
（1）求△ABC的面積；
（2）若P是x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線BC的距離的最大值；
（3）若Q是x軸上方拋物線上的一點(diǎn)（Q，M，C不在同一條直線上），分別過點(diǎn)A，B作直線CQ的垂線，垂足分別為D，E，當(dāng)△MDE為等腰直角三角形時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6求得A、B、C的坐標(biāo)，從而求得AB、OC的長，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可；
（2）過P作PD∥y軸，交直線BC于D，作PE⊥BC于E，根據(jù)B、C的坐標(biāo)求得直線BC的解析式為y=x-6，設(shè)P（x，-$\frac{1}{2}$x²+4x-6），則D（x，x-6），所以PD=（-$\frac{1}{2}$x²+4x-6）-（x-6）=-$\frac{1}{2}$x²+3x=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$（2≤x≤4），從而求得PD的最大值為$\frac{9}{2}$，根據(jù)OB=OC=6，得出∠OCB=∠OBC=45°，進(jìn)而得出∠PDE=45°，所以PE_最大=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD_最大=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
（3）分三種情況分別討論即可求得．

解答 解：（1）令y=0，則，-$\frac{1}{2}$x²+4x-6=0，
解得x₁=2，x₂=6，
∴A（2，0），B（6，0）
∴AB=4，
令x=0，則，y=-6，
∴C（0，-6），
∴OC=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×6=12；

（2）如圖1，過P作PD∥y軸，交直線BC于D，作PE⊥BC于E，
∵B（6，0），C（0，-6），
∴直線BC的解析式為y=x-6，
設(shè)P（x，-$\frac{1}{2}$x²+4x-6），則D（x，x-6），
∴PD=（-$\frac{1}{2}$x²+4x-6）-（x-6）=-$\frac{1}{2}$x²+3x=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$（2≤x≤4），
∴當(dāng)x=3時(shí)，PD有最大值，最大值為$\frac{9}{2}$，
∵PD∥y軸，
∴∠PDE=∠BCO，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠PDE=45°，
∴PE_最大=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD_最大=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

（3）由拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+2，
∴對(duì)稱軸x=4，M（4，0），
∵A（2，0），B（6，0）
∴MA=2，
①若DE⊥EM，可知點(diǎn)E、M、B在一條直線上，而點(diǎn)B、M在x軸上，因此點(diǎn)E必然在x軸上，由DE⊥BE，可知點(diǎn)E只能和O重合，即直線QC與y軸重合，
不合題意，故此種情況不存在；
②若DE⊥DM，與①同理可知，此種情況不存在；
③若EM⊥DM，如圖2，設(shè)直線QC與對(duì)稱軸交于N點(diǎn)，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN=∠DMA，
在△ADM和△NEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMN=∠DMA}\\{EM=DM}\\{∠ADM=∠NEM=135°}\end{array}\right.$
∴△ADM≌△NEM（ASA），
∴MN=MA=2，
∴N（4，2），
設(shè)直線QC的解析式為y=kx+b，∵N、C在直線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直線QC的解析式為y=2x-6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-6}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x-6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$
∴Q（4，2），
綜上，△MDE能為等腰直角三角形時(shí)，此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了拋物線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式以及最值問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．