Question

9．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，PO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，OA．
（1）求證：∠POA=2∠PCB；
（2）若OA=3，PA=4，求tan∠PCB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理證明Rt△POA≌Rt△POB，再利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的二倍可得結(jié)論；
（2）利用面積法求高線(xiàn)BE的長(zhǎng)，利用勾股定理求OE，得CE的長(zhǎng)，最后在Rt△OBE中，利用三角函數(shù)定義代入可得結(jié)果．

解答 證明：（1）連接OB，
∵PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，
∴PA=PB，∠OBP=∠OAP=90°，
在Rt△POA和Rt△POB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{PO=PO}\end{array}\right.$，
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），
∴∠POA=∠POB，
∵∠POB=2∠PCB，
∴∠POA=2∠PCB；

（2）過(guò)B作BE⊥PC于E，
∵PB=PA=4，OB=OA=3，
∴PO=5，
∴$\frac{1}{2}$PO•BE=$\frac{1}{2}$OB•PB，
∴BE=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理得：OE=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴CE=OC+OE=3+$\frac{9}{5}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△OBE中，tan∠PCB=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{24}{5}}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理、圓周角定理、三角形全等的性質(zhì)和判定和勾股定理、三角函數(shù)，作輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形是第二問(wèn)的關(guān)鍵，本題難度適中．