Question

19．如圖，在△ABC中，D是BC邊中點(diǎn)，DE⊥DF交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F．若CF²+BE²=EF²，求證：AB²+AC²=BC²．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)FD至G，使DG=DF，連接BG、EG，由SAS證明△BDG≌△CDF，得出CF=BG，∠GBD=∠C，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EG=EF，由已知條件得出BG²+BE²=EF²，證出∠EBG=90°，得出∠ABC+∠C=90°，因此∠A=90°，由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 證明：延長(zhǎng)FD至G，使DG=DF，連接BG、EG，如圖所示，
∵D是BC邊中點(diǎn)，
∴BD=CD，
在△BDG和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}&{\;}\\{∠BDG=∠CDF}&{\;}\\{DG=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴CF=BG，∠GBD=∠C，
∵DE⊥DF，DG=DF，
∴EG=EF，
∵CF²+BE²=EF²，
∴BG²+BE²=EF²，
∴△BEG是直角三角形，∠EBG=90°，
即∠ABC+∠GBD=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠A=90°，
∴AB²+AC²=BC²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要作輔助線構(gòu)造三角形全等才能得出結(jié)論．