Question

13．已知O為銳角△ABC的外心，D、E分別在AB、AC上，且使得∠DOB=∠ABC，∠EOC=∠ACB．證明：BA•BD=CE•CA．

Answer 1

分析 連接AO并延長交BC于F，由三角形的外心得出OA=OB=OC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAB=∠DBO，證明△ABF∽△BOD，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{AB}{BO}=\frac{AF}{BD}$，得出AB•BD=AF•BO，同理：CE•CA=AF•OC，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接AO并延長交BC于F，如圖所示：
∵O為銳角△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠DBO，
∵∠ABC=∠DOB，
∴△ABF∽△BOD，
∴$\frac{AB}{BO}=\frac{AF}{BD}$，
∴AB•BD=AF•BO，
同理：CE•CA=AF•OC，
∵OC=OB，
∴BA•BD=CE•CA．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外心、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握三角形的外心性質(zhì)，證明三角形相似得出對應(yīng)邊成比例是解決問題的關(guān)鍵．