Question

14．如圖，已知△ABC為等邊三角形，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，E是射線BD上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為邊在直線AE的右側(cè)作等邊△AEF，連接EF．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)F在BD上時(shí)，求證：FB=FE；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)F不在BD上時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）過(guò)點(diǎn)F作EG⊥AB，證得△ADE≌△AFG，結(jié)合直角三角形中30度的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半解決問(wèn)題．

解答 證明：（1）∵△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠AFE=60°，
∵△ABC為等邊三角形，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，
∴∠ABD=30°，∠AFE=∠ABD+∠FAB，
∴∠FAB=60°-30°=30°，
∴∠ABD=∠FAB，
∴FB=AF，
∴FB=FE；

（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G，
∵△ABC，△AEF為等邊三角形，
∴AF=AE，∠CAB=∠EAF=60°，
∴∠CAB-∠EAB=∠EAF-∠EAB，
∴∠DAE=∠BAF，
在△ADE與△AGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠AGF}\\{∠DAE=∠GAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AGF，
∴AG=AD，
∵AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB，
∴AF=BF，
∴FB=FE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．