Question

5．如圖1，已知矩形紙片ABCD中，AB=6cm，若將該紙片沿著過點(diǎn)B的直線折疊（折痕為BM），點(diǎn)A恰好落在CD邊的中點(diǎn)P處．

（1）求矩形ABCD的邊AD的長．
（2）若P為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，折疊紙片，使得A與P重合，折痕為MN，其中M在邊AD上，N在邊BC上，如圖2所示．設(shè)DP=x cm，DM=y cm，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍．
（3）①當(dāng)折痕MN的端點(diǎn)N在AB上時(shí)，求當(dāng)△PCN為等腰三角形時(shí)x的值；
②當(dāng)折痕MN的端點(diǎn)M在CD上時(shí)，設(shè)折疊后重疊部分的面積為S，試求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)得出BP=AB=6cm，由矩形的性質(zhì)得出∠C=90°，CD=AB=6cm，得出PC，根據(jù)勾股定理求出BC即可；
（2）由折疊的性質(zhì)得出AM=MP=3$\sqrt{3}$-y，再根據(jù)勾股定理得出x²+y²=（3$\sqrt{3}$-y）²，即可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；
（3）①根據(jù)題意得出只可能NC=NP；過N點(diǎn)作NQ⊥CD于Q，得出PQ=CQ，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可；
 ②當(dāng)點(diǎn)M在CD上時(shí)，N在AB上；先證出四邊形ANPM是菱形，設(shè)MP=y，根據(jù)勾股定理得出：（x-y）²+（3$\sqrt{3}$）²=y²．求出y，即可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：BP=AB=6cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB∥CD，CD=AB=6cm，
∵P為CD的中點(diǎn)，
∴PC=$\frac{1}{2}$CD=3cm，
根據(jù)勾股定理得：BC=$\sqrt{B{P}^{2}-P{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AD=3$\sqrt{3}$（cm）；     
（2）根據(jù)題意得：AM=MP=3$\sqrt{3}$-y，在Rt△MPD中，PD²+MD²=MP²，
∴x²+y²=（3$\sqrt{3}$-y）²．
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{18}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
其中，0＜x＜3；
（3）①當(dāng)點(diǎn)N在AB上，x≥3，
∴PC≤3，而PN≥3$\sqrt{3}$，NC≥3$\sqrt{3}$．
∴△PCN為等腰三角形，只可能NC=NP；
過N點(diǎn)作NQ⊥CD于Q，如圖3所示：
則PQ=CQ=$\frac{1}{2}$（6-x）=3-$\frac{1}{2}$x，NP=AN=6-CQ=3+$\frac{1}{2}$x，
在Rt△NPQ中，PQ²+NQ²=NP²．
∴（3-$\frac{1}{2}$x）²+（3$\sqrt{3}$）²=（3+$\frac{1}{2}$x）²．
解得：x=$\frac{9}{2}$．
②當(dāng)點(diǎn)M在CD上時(shí)，N在AB上；如圖4所示：
根據(jù)題意得：MN垂直平分AP，
∴OA=OP，
∵AB∥CD，OM=ON，
∴四邊形ANPM是平行四邊形，
又∵PM=AM，
∴四邊形ANPM是菱形，
∴折疊后重疊部分的面積S=△PMN的面積，
設(shè)MP=y，在Rt△ADM中，AD²+DM²=AM²，
∴（x-y）²+（3$\sqrt{3}$）²=y²．
解得：y=$\frac{{x}^{2}+27}{2x}$，
∴S=$\frac{1}{2}$MP•BC=$\frac{1}{2}$y•3$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}{x}^{2}+81\sqrt{3}}{4x}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定、垂直平分線的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要通過作輔助線運(yùn)用勾股定理和證明四邊形是菱形才能得出結(jié)果．