Question

12．如果拋物線y=2x²-2ax+2a+1與y=x²-（b-2）x+b的頂點(diǎn)相同，問(wèn)：自變量x在什么范圍內(nèi)，兩函數(shù)都隨x的增大而增大？

Answer 1

分析 把拋物線解析式可化為頂點(diǎn)式，求得兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由條件可得到關(guān)于a、b的方程組，可求得a、b的值，可求出對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得出答案．

解答 解：∵y=2x²-2ax+2a+1=2（x-$\frac{a}{2}$）²+2a+1-$\frac{{a}^{2}}{2}$，y=x²-（b-2）x+b=（x-$\frac{b-2}{2}$）²+b-$\frac{（b-2）^{2}}{4}$，
∴兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（$\frac{a}{2}$，2a+1-$\frac{{a}^{2}}{2}$）、（$\frac{b-2}{2}$，$\frac{（b-2）^{2}}{4}$），
∵兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}=\frac{b-2}{2}}\\{2a+1-\frac{{a}^{2}}{2}=b-\frac{（b-2）^{2}}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴兩拋物線的對(duì)稱軸為x=1，且開(kāi)口向上，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，兩函數(shù)隨x的增大而增大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程是解題的關(guān)鍵．