Question

17．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D是AC上一動點，連接BD，以BD為一邊作△BDE，且DB=DE．
（1）如圖1，當點E在BC上時，過點E作EP⊥AC，垂足為P，若∠ABD=∠PDE，則AD與PE是否相等？為什么？
（2）當點E位于圖2所示位置時，連接EC，過點E向線段AC所在直線作垂線，垂足為G，若AC=AB，∠BDE=90°，則GE與CG有何數量關系？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）結論：AD=PE．欲證明AD=PE，只要證明△EPD≌△DAB即可；
（2）首先證明△EDG≌△DBA，推出DG=AB，AD=GE，由AB=AC，推出DG=AC，推出AD=AC-DC=DG-DC=CG，可得GE=CG；

解答 解：（1）結論：AD=PE．
理由：如圖1中，

∵EP⊥AC，
∴∠EPD=∠DAB=90°，
在△EPD和△DAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDE=∠ABD}\\{∠EPD=∠DAB}\\{ED=DB}\end{array}\right.$，
∴△EPD≌△DAB（AAS），
∴AD=PE．

（2）結論：GE=CG．
理由：如圖2中，

∵∠BDE=90°，
∴∠EDG+∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB+∠DBA=90°，
∴∠EDC=∠DBA，
在△EDG和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠BAD}\\{∠EDC=∠DBA}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△EDG≌△DBA，
∴DG=AB，AD=GE，
∵AB=AC，
∴DG=AC，
∴AD=AC-DC=DG-DC=CG，
∴GE=CG．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．