Question

17．如圖矩形ABCD中，AB=12，BC=8，E丶F分別為AB、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q從A、C同時出發(fā)，在邊AD、CB上以每秒1個單位向D丶B運(yùn)動，運(yùn)動時間為t（0＜t＜8）．
（1）如圖1，連接PE、EQ、QF、PF，求證：無論t在0＜t＜8內(nèi)取任何值，四邊形PEQF總為平行四邊形；
（2）如圖2，連接PQ交CE于G，若PG=4QG，求t的值；
（3）在運(yùn)動過程中，是否存在某時刻使得PQ⊥CE于G？若存在，請求出t的值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出CD=AB=12，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由SAS證明△APE≌△CQF，得出PE=QF，同理：PF=QE，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意得：AP=CQ=t，∴PD=QB=8-t，作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，證出EH是梯形ABQP的中位線，由梯形中位線定理得出EH=$\frac{1}{2}$（AP+BQ）=4，證出GH：GQ=3：2，由平行線得出△EGH∽△CGQ，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{EH}{CQ}=\frac{GH}{GQ}$=$\frac{3}{2}$，即可得出t的值；
（3）由勾股定理求出CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=10，作EM∥BC交PQ于M，由（2）得：ME=4，證出△GCQ∽△BCE，得出對應(yīng)邊成比例求出CG=$\frac{4}{5}$t，得出EG=10-$\frac{4}{5}$t，由平行線證明△GME∽△GQC，得出對應(yīng)邊成比例，求出t=0或t=8.5，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=12，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E丶F分別為AB、CD的中點(diǎn)，
∴AE=BE=6，DF=CF=6，
∴AE=BE=DF=CF，
∵點(diǎn)P、Q從A、C同時出發(fā)，在邊AD、CB上以每秒1個單位向D丶B運(yùn)動，
∴AP=CQ=t，
在△APE和△CQF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AP=CQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CQF（SAS），
∴PE=QF，
同理：PF=QE，
∴四邊形PEQF總為平行四邊形；

（2）解：根據(jù)題意得：AP=CQ=t，
∴PD=QB=8-t，
作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，如圖2所示：
則F為CD的中點(diǎn)，H為PQ的中點(diǎn)，EF=BC=8，
∴EH是梯形ABQP的中位線，
∴EH=$\frac{1}{2}$（AP+BQ）=4，
∵PG=4QG，
∴GH：GQ=3：2，
∵EF∥BC，
∴△EGH∽△CGQ，
∴$\frac{EH}{CQ}=\frac{GH}{GQ}$=$\frac{3}{2}$，即$\frac{4}{t}=\frac{3}{2}$，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
∴若PG=4QG，t的為$\frac{8}{3}$值；

（3）解：不存在，理由如下：
∵∠B=90°，BE=6，BC=8，
∴CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
作EM∥BC交PQ于M，如圖3所示：
由（2）得：ME=4，
∵PQ⊥CE，
∴∠CGQ=90°=∠B，
∵∠GCQ=∠BCE，
∴△GCQ∽△BCE，
∴$\frac{CG}{CQ}=\frac{CB}{CE}$，即$\frac{CG}{t}=\frac{8}{10}$，
∴CG=$\frac{4}{5}$t，
∴EG=10-$\frac{4}{5}$t，
∵EM∥BC，
∴△GME∽△GQC，
∴$\frac{EM}{CQ}=\frac{EG}{CG}$，即$\frac{4}{t}=\frac{10-\frac{4}{5}t}{\frac{4}{5}t}$，
解得：t=0或t=8.5，
∵0＜t＜8，
∴不存在．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、梯形中位線定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．