Question

2．拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)為D，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，若△ABD為等腰三角形，△ABC為頂角為120°的等腰三角形，則c=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，利用等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形以及點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法來求函數(shù)解析式y(tǒng)=（x+m）（x+3m）=x²-4mx+2m²，易得m的值．則c=2m²=$\frac{3}{2}$．

解答 解：過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，∠CBO=60°，
∴BC=2OB=2m，BC=$\sqrt{3}$m，
∴BC=AB=2m．則A（-3m，0），B（-m，0），C（0，$\sqrt{3}$m）．
故設(shè)拋物線的解析式為y=（x+m）（x+3m）=x²+4mx+2m²．
把C（0，$\sqrt{3}$m）代入，得
$\sqrt{3}$m=2m²．
解得m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
則c=2m²=$\frac{3}{2}$．
故答案是：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．解題時(shí)，需要掌握等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識．