Question

12．已知關(guān)于x的方程（m-1）x²-2mx+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁、x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）若（x₁-x₂）²=3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，建立關(guān)于m的不等式，然后求出m的取值范圍；
（2）把根與系數(shù)的關(guān)系式代入（x₁-x₂）²=8即（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，代入即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程，求得m的值．

解答 解：（1）∵a=m-1，b=-2m，c=m，
而方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=4m²-4（m-1）m=4m＞0，
∴m＞0（m≠1）；
（2）∵x₁+x₂=$\frac{2m}{m-1}$，x₁x₂=$\frac{m}{m-1}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{2m}{m-1}$）²-4×$\frac{m}{m-1}$=3，
解得：m₁=3，m₂=$\frac{1}{3}$．
經(jīng)檢驗(yàn)3和$\frac{1}{3}$都是方程的解．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系為：x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．