Question

7．如圖，⊙O的半徑為2，點A、C在⊙O上，線段BD經(jīng)過圓心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=$\sqrt{3}$，則圖中陰影部分的面積為$\frac{5}{3}$π．

Answer 1

分析 通過解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，從而可求出∠AOC=150°，再通過證三角形全等找出S_陰影=S_扇形OAC，套入扇形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，sin∠AOB=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，∠AOB=30°．
同理，可得出：OD=1，∠COD=60°．
∴∠AOC=∠AOB+（180°-∠COD）=30°+180°-60°=150°．
在△AOB和△OCD中，有$\left\{\begin{array}{l}{AO=OC}\\{AB=OD}\\{BO=DC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△OCD（SSS）．
∴S_陰影=S_扇形OAC．
∴S_扇形OAC=$\frac{150}{360}$πR²=$\frac{150}{360}$π×2²=$\frac{5}{3}$π．
故答案為：$\frac{5}{3}$π．

點評 本題考查了全等三角形的判定、解直角三角以及扇形的面積公式，解題的關(guān)鍵是找出S_陰影=S_扇形OAC．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)拆補法將不規(guī)則的圖形變成規(guī)則的圖形，再套用規(guī)則圖形的面積公式進行計算即可．