Question

8．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），下列結(jié)論：
①b=-2；②B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）；③拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3）；④直線y=h與拋物線交于點(diǎn)D、E，若DE＜2，則h的取值范圍是3＜h＜4；⑤在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q，使△QAC的周長(zhǎng)最小，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）．其中正確的有（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 ①根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出b、c的值，結(jié)論①正確；②利用分解因式法將二次函數(shù)解析式變形為交點(diǎn)式，由此即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)論②正確；③利用配方法將二次函數(shù)解析式變形為頂點(diǎn)式，由此即可得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)論③不正確；④求出當(dāng)DE=2時(shí)h的值，結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出h的取值范圍是3＜h＜4，結(jié)論④正確；⑤根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，找出△QAC的周長(zhǎng)取最小值時(shí)點(diǎn)Q的位置，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，結(jié)論⑤正確．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：①將A（1，0）、C（0，3）代入y=-x²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴結(jié)論①正確；
②∵y=-x²-2x+3=-（x+3）（x-1），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），結(jié)論②正確；
③∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），結(jié)論③不正確；
④∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，
∴-1+1=0．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²-2x+3=3．
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），
∴直線y=h與拋物線交于點(diǎn)D、E，若DE＜2，則h的取值范圍是3＜h＜4，結(jié)論④正確；
⑤連接BC，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，此時(shí)△QAC的周長(zhǎng)最小，如圖所示．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
將B（-3，0）、C（0，3）代入y=mx+n中，
$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x+3．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=x+3=2，
∴當(dāng)△QAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），結(jié)論⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④⑤．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法求一次（二次）函數(shù)解析式、軸對(duì)稱-最短路線問題以及二次函數(shù)的三種形式，逐一分析五條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．