Question

12．觀察下列單項式：-2x，2²x²，-2³x³，2⁴x⁴，…，-2¹⁹x¹⁹，2²⁰x²⁰，…你能寫出第n個單項式嗎？并寫出第2014，2015個單項式．為解決這個問題，我們不妨從系數(shù)和次數(shù)兩個方面入手進行探究，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論．
（1）系數(shù)規(guī)律有兩條：①系數(shù)的符號規(guī)律是（-1）ⁿ；②系數(shù)的絕對值規(guī)律是2ⁿ．
（2）次數(shù)的規(guī)律是第n個為n次．
（3）根據(jù)上面的規(guī)律，猜想出第n個單項式是（-1）ⁿ×2ⁿxⁿ．
（4）根據(jù)猜想的結(jié)論，寫出第2014個和第2015個單項式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中個所給出的單項式找出其系數(shù)及次數(shù)的規(guī)律即可；
（2）、（3）、（4）根據(jù)（1）中的規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵第一個單項式是-2x=（-1）¹×2¹x¹；
第二個單項式是2²x²=（-1）²×2²x²；
第三個單項式是-2³x³=（-1）³×2³x³；
…；
∴第n個單項式是（-1）ⁿ×2ⁿxⁿ．
∴①系數(shù)符號的規(guī)律是（-1）ⁿ；
②次數(shù)的規(guī)律是2ⁿ．
故答案為：（-1）ⁿ；2ⁿ．

（2）∵由（1）知第n個單項式是=（-1）ⁿ×2ⁿxⁿ，
∴次數(shù)的規(guī)律是：第n個為n次；
故答案為：第n個為n次；

（3）由（1）知第n個單項式是：（-1）ⁿ×2ⁿxⁿ；
故答案為：（-1）ⁿ×2ⁿxⁿ．

（4）∵由（1）知第n個單項式是：（-1）ⁿ×2ⁿxⁿ，
∴第2014個單項式為：（-1）²⁰¹⁴×2²⁰¹⁴x²⁰¹⁴=2²⁰¹⁴x²⁰¹⁴；
第2015個單項式為：（-1）²⁰¹⁵×2²⁰¹⁵x²⁰¹⁵=-2²⁰¹⁵x²⁰¹⁵．

點評 本題考查的是單項式，根據(jù)題意找出次數(shù)與系數(shù)的變化規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．