Question

3．如圖，已知△ABC和△ABD，∠CAB=∠DBA=90°，BC=5，BD=8，∠CBD=2∠ADB，則AD的長(zhǎng)為4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 在BD上E，截取BE=AC，證得△ABE≌△BAC，得出AE=BC=5，∠AEB=∠ACB，再利用AC∥BD和∠CBD=2∠ADB證得DE=AE=5，求得BE．進(jìn)一步利用勾股定理解決問題．

解答 解：如圖，

在BD上E，截取BE=AC，
∵在△ABE和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{∠ABE=∠BAC=90°}\\{BE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BAC，
∴AE=BC=5，∠AEB=∠ACB，
∵∠CAB=∠DBA=90°，
∴AC∥BD，
∴∠ACB=∠CBD，
∴∠AEB=∠CBD，
∵∠CBD=2∠ADB，
∴∠AEB=2∠ADB=∠ADB+∠DAE，
∴∠DAE=∠ADB，
∴EA=ED=5，
∴BE=BD-DE=8-5=3，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．