Question

13．解決下面問題：
（1）閱讀理解：如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為（1，2）連接OA并延長OA至A′，使OA′：OA=3：1，則點A′的坐標(biāo)為（3，6）；
（2）活動探索：（在下圖中分別作出對應(yīng)的圖形，不要求用尺規(guī)作圖）
活動一：如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點T（1，1）、點E（2，3），連接TE并延TE長至點E′，使T E′：TE=3：1，則點E′的坐標(biāo)為（4，7）；
活動二：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點W（2，3）、點G（3，5），連接WG并延長WG至點G′，使WG′：WG=4：1，則點G′的坐標(biāo)為（6，11）；
（3）歸納猜想：
在平面直角坐標(biāo)系中，若點M（a，b）、點P（x，y），連接MP并延長MP至點P′，使MP′：MP=n：1，則點P′的橫坐標(biāo)為nx-na+a，縱坐標(biāo)為ny-nb+b．（用a，b，x，y，n表示，其中0＜a＜x，0＜b＜y，n為大于1的正整數(shù)）

Answer 1

分析 根據(jù)第一問給出的信息，我們很容易對第二問和第三問進(jìn)行解答，第二問根據(jù)題目中的信息作出相應(yīng)的圖形，從而可以寫出E′和G′的坐標(biāo)；根據(jù)第二問對第三問進(jìn)行猜想，得出P′的坐標(biāo)．

解答 解：根據(jù)第一問可得，
（2）活動一中，點E′的坐標(biāo)為（4，7），如下圖所示：

∵在平面直角坐標(biāo)系中，點T（1，1）、點E（2，3），T E′：TE=3：1，
設(shè)E′的坐標(biāo)為（x，y）．
∴$\frac{x-1}{2-1}=\frac{3}{1}，\frac{y-1}{3-1}=\frac{3}{1}$．
解得，x=4，y=7．
故點E的坐標(biāo)為（4，7）．
活動二中，點G′的坐標(biāo)為（6，11），如下圖所示：

∵在平面直角坐標(biāo)系中，點W（2，3）、點G（3，5），WG′：WG=4：1，
設(shè)點G′的坐標(biāo)為（x，y）．
∴$\frac{x-2}{3-2}=\frac{4}{1}，\frac{y-3}{5-3}=\frac{4}{1}$．
解得，x=6，y=11
∴點G′的坐標(biāo)為（6，11）．
（3）∵在平面直角坐標(biāo)系中，點M（a，b）、點P（x，y），MP′：MP=n：1，其中0＜a＜x，0＜b＜y，
設(shè)點P′的坐標(biāo)為（h，k）．
∴$\frac{h-a}{x-a}=\frac{n}{1}，\frac{k-b}{y-b}=\frac{n}{1}$．
解得，h=nx-na+a，k=ny-nb+b

點評 本題考查坐標(biāo)和圖形的相關(guān)知識，關(guān)鍵是明確圖形變化之后對應(yīng)邊的比，根據(jù)對應(yīng)邊的比相等，求出相應(yīng)的點的坐標(biāo)．