Question

7．已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向勻速平移得到△PNM停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也停止移動，如圖②，設(shè)移動時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．連接PQ、MQ、MC．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AB？
（2）當(dāng)t=3時(shí)，求△QMC的面積；
（3）是否存在t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)PQ∥AB，得出關(guān)于t的比例式，求解即可；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，根據(jù)△CPD∽△CBA，列出關(guān)于t的比例式，表示出PD的長，再根據(jù)S_△QMC=$\frac{1}{2}$QC•PD，進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）過點(diǎn)M作ME⊥BC的延長線于點(diǎn)E，根據(jù)△CPD∽△CBA，得出PD=$\frac{3}{5}$（4-t），CD=$\frac{4}{5}$（4-t），再根據(jù)△PDQ∽△QEM，得到 $\frac{PD}{QE}$=$\frac{DQ}{EM}$，即PD•EM=QE•DQ，進(jìn)而得到方程（$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t）²=（$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$t）（$\frac{9}{5}$+$\frac{9}{5}$t），求得t=$\frac{3}{2}$或t=0（舍去），即可得出當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，PQ⊥MQ．

解答 解：（1）如圖所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，
∴Rt△ABC中，AC=4，
若PQ∥AB，則有$\frac{CP}{PA}$=$\frac{CQ}{QB}$，
∵CQ=PA=t，CP=4-t，QB=5-t，
∴$\frac{4-t}{t}$=$\frac{t}{5-t}$，
即20-9t+t²=t²，
解得t=$\frac{20}{9}$，
當(dāng)t=$\frac{20}{9}$時(shí)，PQ∥AB；  

（2）如圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠PDC=∠A=90°，
∵∠PCD=∠BCA
∴△CPD∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{PD}{BA}$，
當(dāng)t=3時(shí)，CP=4-3=1，
∵BA=3，BC=5，
∴$\frac{1}{5}$=$\frac{PD}{3}$，
∴PD=$\frac{3}{5}$，
又∵CQ=3，PM∥BC，
∴S_△QMC=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{10}$；
   
（3）存在時(shí)刻t=$\frac{3}{2}$，使PQ⊥MQ，
理由如下：如圖所示，過點(diǎn)M作ME⊥BC的延長線于點(diǎn)E，
∵△CPD∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{PD}{BA}$=$\frac{CD}{CA}$，
∵BA=3，CP=4-t，BC=5，CA=4，
∴$\frac{4-t}{5}$=$\frac{PD}{3}$=$\frac{CD}{4}$，
∴PD=$\frac{3}{5}$（4-t），CD=$\frac{4}{5}$（4-t）．
∵PQ⊥MQ，
∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，
∴△PDQ∽△QEM，
∴$\frac{PD}{QE}$=$\frac{DQ}{EM}$，即PD•EM=QE•DQ．
∵EM=PD=$\frac{3}{5}$（4-t）=$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t，
DQ=CD-CQ=$\frac{4}{5}$（4-t）-t=$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$t，
QE=DE-DQ=5-[$\frac{4}{5}$（4-t）-t]=$\frac{9}{5}$+$\frac{9}{5}$t，
∴（$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t）²=（$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$t）（$\frac{9}{5}$+$\frac{9}{5}$t），
即2t²-3t=0，
∴t=$\frac{3}{2}$或t=0（舍去），
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，PQ⊥MQ．

點(diǎn)評 此題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．