Question

17．在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB，BC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N．

（1）觀察圖1，直接寫(xiě)出∠AEM與∠BNE的關(guān)系是∠AEM+∠BNE=90°；（不用證明）
（2）如圖1，當(dāng)M、N都分別在AB、BC上時(shí)，可探究出BN與AM的關(guān)系為：BN⊥AM，BN-AM=2；（不用證明）
（3）如圖2，當(dāng)M、N都分別在AB、BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中BN與AM的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不成立，寫(xiě)出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)可得AD∥BC，由平行線的性質(zhì)定理可得∠DEN=∠BNE，由∠MEN=90°，易得∠AEM+∠DEN=90°，可得∠AEM+∠BNE=90°；
（2）由矩形的性質(zhì)可得BN⊥AM，過(guò)E作EF⊥BC于F，由E是AD的中點(diǎn)可得，AD=2AB=4，易得AE=EF，易得Rt△AEM≌Rt△FEN，由全等三角形的性質(zhì)可得AM=FN，易得BN-AM=BN-FN=BF=2；
（3）同（2）可證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEN=∠BNE，
∵∠MEN=90°，
∴∠AEM+∠DEN=90°，
∴∠AEM+∠BNE=90°，
故答案為：∠AEM+∠BNE=90°；


（2）BN⊥AM，BN-AM=2；
證明：如圖1，∵四邊形ABCD為矩形，
∴BN⊥AM，
過(guò)E作EF⊥BC于F，
∵矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點(diǎn)
∴AE=EF=AB=BF=2，
∵∠AEM+∠MEF=90°，∠NEF+∠MEF=90°，
∴∠AEM=∠NEF，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠NEF}\\{AE=EF}\\{∠A=∠EFN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN，
∴AM=FN，
∴BN-AM=BN-FN=BF=2；
故答案為：BN⊥AM，BN-AM=2；


（3）當(dāng)M、N都分別在AB、BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中BN與AM的關(guān)系式仍然成立．
證明：如圖2，∵四邊形ABCD為矩形，
∴BN⊥AM，
過(guò)E作EF⊥BC于F
∵矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=EF=AB=BF=2，
∵∠AEM+∠MEF=90°，∠NEF+∠MEF=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠NEF}\\{AE=EF}\\{∠A=∠EFN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN，
∴AM=FN，
∴BN-AM=BN-FN=BF=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．