Question

18．已知矩形ABCD中，AD=6，AB=12，P為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，過A點(diǎn)作AQ⊥AP，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)E，若DP=x，CQ=y，
（1）試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△APE為等腰直角三角形？
（3）直接寫出P點(diǎn)由D向C運(yùn)動(dòng)過程中，PQ的中點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=AD=6，∠D=∠DAB=∠ABC=90°，求得∠ABQ=∠B，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由于△APE為等腰直角三角形，于是得到∠APE=90°或∠AEP=90°，當(dāng)∠APE=90°或∠AEP=90°時(shí)，則∠PAE=45°，推出△ADP是等腰直角三角形，得到PD=AD=6，于是得到結(jié)論；
（3）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC，BA分別為x軸與y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求得A（0，12），C（6，0），D（6，12），當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，B與Q重合，得到P₁Q₁的中點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（3，6），當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，得到P₃Q₃的中點(diǎn)F₃（-9，0），當(dāng)P為CD的中點(diǎn)時(shí)，同理得F₂（-3，3），求得直線F₁F₃的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，經(jīng)檢驗(yàn)F₂（-3，3）在直線F₁F₃上，于是得到PQ的中點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為線段F₁F₃，即△AQ₃C的中位線，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD=6，∠D=∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠ABQ=∠B，
∵AQ⊥AP，
∴∠DAP=∠QAB=90°-∠PAB，
∴△ADP∽△ABQ，
∴$\frac{DP}{BQ}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{x}{y-6}$=$\frac{6}{12}$，
∴y=2x+6，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2x+6；
（2）∵△APE為等腰直角三角形，
∴∠APE=90°或∠AEP=90°，
當(dāng)∠APE=90°或∠AEP=90°時(shí)，則∠PAE=45°，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠PAE=45°，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴PD=AD=6，
即當(dāng)x=6時(shí)，△APE為等腰直角三角形；
（3）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC，BA分別為x軸與y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，12），C（6，0），D（6，12），
當(dāng)點(diǎn)P與D重合時(shí)，B與Q重合，
∴P₁Q₁的中點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（3，6），
當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，
由（1）知，△ADP∽△ABQ，
∴$\frac{BQ}{12}=\frac{12}{6}$，
∴BQ=24，
∴P₃Q₃=30，
∴P₃Q₃的中點(diǎn)F₃（-9，0），
當(dāng)P為CD的中點(diǎn)時(shí)，
同理得F₂（-3，3），
設(shè)直線F₁F₃的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=3k+b}\\{0=-9k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線F₁F₃的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
當(dāng)x=-3時(shí)，y=3，
∴F₂（-3，3）在直線F₁F₃上，
∴PQ的中點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為線段F₁F₃，即△AQ₃C的中位線，
∴AQ₃=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{Q}_{3}}^{2}}$=12$\sqrt{5}$，
∴PQ的中點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為6$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線的性質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵．