Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，點A、B的坐標(biāo)分別是（-1，0）、（5，0），與y軸交于點C，連接AC，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D，點P是拋物線上一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點P作PQ∥AC交拋物線的對稱軸于點Q，當(dāng)PQ=AC時，求m的值；
（3）設(shè)以O(shè)、C、D、P為頂點的四邊形的面積為S，當(dāng)點P在y軸右側(cè)的拋物線上時，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）M是x軸上的一點，若以A、C、M、P為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）分P在對稱軸左右兩側(cè)討論即可；
（3）分點P在點D的上方或下方兩種情形討論即可解決問題．
（4）以A、C、M、P為頂點的四邊形是平行四邊形有四種情形，分別求解即可．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c可得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{-\frac{1}{2}×{5}^{2}+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$．

（2）∵拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$的對稱軸x=2，
當(dāng)點P在對稱軸左側(cè)時，如圖1中，2-m=1，m=1．

當(dāng)點P在對稱軸右側(cè)時，如圖2中，m-2=1，m=3．

（3）過點P作PE⊥CD于點E．
當(dāng)0＜m＜2時，如圖3中，S=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{2}$）+$\frac{1}{2}$×4×$\frac{5}{2}$=-m²+4m+5．

當(dāng)m＞4時，S=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$m²-2m-$\frac{5}{2}$）+$\frac{1}{2}$m×$\frac{5}{2}$=m²-$\frac{11}{4}$m．


（4）①如圖5中，當(dāng)P₁與D重合時，四邊形ACDM₁是平行四邊形，易知AM₁=CD=4，∴M₁（3，0）．

②如圖6中，當(dāng)四邊形ACM₂P₂是平行四邊形時，作P₂H⊥x軸于H．
由△ACO≌△M₂P₂H，可得P₂H=OC=$\frac{5}{2}$，M₂H=OA=1，
當(dāng)y=-$\frac{5}{2}$時，-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$=-$\frac{5}{2}$，解得x=2±$\sqrt{14}$，
∴OH=2+$\sqrt{14}$，M₂（3+$\sqrt{14}$，0）．

③如圖7中，當(dāng)AC是平行四邊形DCM₃A的對角線時，易知M₃（-5，0）．

④如圖8中，當(dāng)四邊形ACM₄P₄是平行四邊形時，同法可得M₄（3-$\sqrt{14}$，0）．

點M的坐標(biāo)為（3，0）或（3+$\sqrt{14}$，0）或（-5，0）或（3-$\sqrt{14}$，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．