Question

1．如圖1，四邊形ABCD是正方形，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止；動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以1cm/s的速度沿邊AD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，△APQ的面積為Scm²．S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示．
（1）求圖2中線段FG所表示的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在邊AB運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求t的值；
（3）是否存在這樣的t，使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1：3的兩部分？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)圖象中線段FG，表示點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D之后停止運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的情形．求出S的表達(dá)式，并確定t的取值范圍；
（2）分CP=CQ、PC=PQ、QC=QP三種情況討論即可確定答案；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，求出t的值；
當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，求出t的值．

解答 解：（1）由題意，可知題圖2中點(diǎn)E表示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)的情形，
所用時(shí)間為2s，則正方形的邊長(zhǎng)AB=2×2=4cm．
點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D所需時(shí)間為：4÷1=4s，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D所需時(shí)間為12÷2=6s．
因此在FG段內(nèi)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，且時(shí)間t的取值范圍為4≤t≤6．
故S=$\frac{1}{2}$×4×（12-2t）=-4t+24，
∴FG段的函數(shù)表達(dá)式為S=-4t+24（4≤t≤6）．
（2）①若CP=CQ，則DQ=PB，顯然不成立
    ②若PC=PQ，則（4-2t）²+4²=5t²，解得${t_1}=-8+4\sqrt{6}$，${t_2}=-8-4\sqrt{6}$（舍去）
③若QC=QP，則（4-t）²+4²=5t²，解得t₁=2，t₂=-4（舍去）
綜上所述，當(dāng)$t=-8+4\sqrt{6}$或t=2時(shí)，以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．
（3）假設(shè)存在這樣的t，使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1：3的兩部分．
易得正方形ABCD的面積為16．
①當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將正方形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分，
如圖1所示，根據(jù)題意，得$\frac{1}{2}×2t×t=16×\frac{1}{4}$，解得t=2；                   

②當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ將正方形ABCD分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分，如圖所示．根據(jù)題意，得$\frac{1}{2}$（2t-4+t）×4=$\frac{3}{4}$×16，
解得t=$\frac{10}{3}$．
∴存在t=2和t=$\frac{10}{3}$，使PQ將正方形ABCD的面積恰好分成1：3的兩部分．

點(diǎn)評(píng) 本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象、菱形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積等知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是深刻理解動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，理解動(dòng)點(diǎn)的完整運(yùn)動(dòng)過(guò)程．