Question

6．2016年底鄭州市霧霾天氣趨于嚴(yán)重，某商場(chǎng)根據(jù)民眾健康需要，從廠家購(gòu)進(jìn)了A、B兩種型號(hào)的空氣凈化器，如果銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型空氣凈化器的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型空氣凈化器的利潤(rùn)為3500元．
（1）求每臺(tái)A型空氣凈化器和B型空氣凈化器的銷售利潤(rùn)；
（2）該公司計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的空氣凈化器共100臺(tái)，其中B型空氣凈化器的進(jìn)貨量不超過A型空氣凈化器的2倍，設(shè)購(gòu)進(jìn)A型空氣凈化器x臺(tái)，這100臺(tái)空氣凈化器的銷售總利潤(rùn)為y元．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②該公司購(gòu)進(jìn)A型、B型空氣凈化器各多少臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大？
（3）已知A型空氣凈化器凈化能力為340m³/h，B型空氣凈化器凈化能力為240m³/h．某公司室內(nèi)辦公場(chǎng)地總面積為600m²，室內(nèi)墻高3.5m．受二胎政策影響，近期孕婦數(shù)量激增，為保證胎兒健康成長(zhǎng)，該公司計(jì)劃購(gòu)買15臺(tái)空氣凈化器凈化空氣，每天花費(fèi)30分鐘將室內(nèi)空氣凈化一新，若不考慮空氣對(duì)流等因素，該公司至少要購(gòu)買6臺(tái)A型空氣凈化器．（請(qǐng)直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）設(shè)每臺(tái)A型空氣凈化器的銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型空氣凈化器的銷售利潤(rùn)為b元，根據(jù)給定條件“銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型空氣凈化器的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型空氣凈化器的利潤(rùn)為3500元”可列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)購(gòu)進(jìn)A型空氣凈化器的臺(tái)數(shù)，找出購(gòu)進(jìn)B型空氣凈化器的臺(tái)數(shù)，根據(jù)A、B間的關(guān)系可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，再由銷售利潤(rùn)=A型的利潤(rùn)+B型的利潤(rùn)，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)以及x的取值范圍即可解決最值問題；
（3）該公司要購(gòu)買A型空氣凈化器m臺(tái)，利用凈化的體積不少于辦公室的體積列不等式$\frac{30}{60}$[340m+240（15-m）]≥600×3.5，然后解方程得到m的范圍，在此范圍內(nèi)確定m的最小值即可．

解答 解：（1）設(shè)每臺(tái)A型空氣凈化器的銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型空氣凈化器的銷售利潤(rùn)為b元，
依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{10a+20b=4000}\\{20a+10b=3500}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=100}\\{b=150}\end{array}\right.$．
答：每臺(tái)A型空氣凈化器的銷售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型空氣凈化器的銷售利潤(rùn)為150元．

（2）①設(shè)購(gòu)進(jìn)A型空氣凈化器x臺(tái)，則購(gòu)進(jìn)B型空氣凈化器（100-x）臺(tái)，
由已知得：100-x≤2x，
解得：x≥$\frac{100}{3}$，
∴x≥34．
∴y=100x+150（100-x）=-50x+15000（x≥34，且x為正整數(shù)）．
②∵y=-50x+15000中，k=-50＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=34時(shí)，y取最大值，此時(shí)100-x=66．
故購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型空氣凈化器和66臺(tái)B型空氣凈化器的銷售利潤(rùn)最大．
（3）該公司要購(gòu)買A型空氣凈化器m臺(tái)，
根據(jù)題意得$\frac{30}{60}$[340m+240（15-m）]≥600×3.5
解得m≥6，
故該公司至少要購(gòu)買A型空氣凈化器6臺(tái)．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于a、b的二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）屬于一元一次不等式的應(yīng)用．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程（方程組或函數(shù)關(guān)系式）是關(guān)鍵．