Question

19．如圖，△ABC與△ABD都是等邊三角形，點E，F(xiàn)分別在BC，AC上，BE=CF，AE與BF交于點G．
（1）求∠AGB的度數(shù)；
（2）連接DG，求證：DG=AG+BG；
（3）若CE=2BE，BG=3，求DG長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△ABE≌△BCF，則∠BAE=∠FBC，利用三角形外角性質(zhì)得∠BGE=∠ABG+∠BAE，則∠BGE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，然后利用鄰補(bǔ)角的定義可計算出∠AGB的度數(shù)；
（2）延長GE至點H，使GH=GB，由于∠BGE=60°，根據(jù)等邊三角形的判定得到△BGH為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BG=BH=GH，∠GBH=60°，且AB=BD，∠ABD=60°，易得∠ABH=∠DBG，根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△DBG≌△ABH（SAS），則DG=AH，即可得到DG=AG+BG；
（3）過F作FH∥AE，根據(jù)已知條件得到CF：AF=1：2，于是得到BE：EH=3：4，求得BG：GF=3：4，通過△CFH∽△CAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{FH}=\frac{AC}{FC}=3$，$\frac{GE}{FH}=\frac{BG}{BF}=\frac{3}{7}$，于是得到AG：GE=6，即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠FBC，
∵∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠AGB=180°-∠BGE=120°；

（2）證明：延長GE至點H，使GH=GB，如圖，
∵∠BGE=60°，
∴△BGH為等邊三角形，
∴BG=BH=GH，∠GBH=60°，
∵△ABD是等邊三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵∠ABH=∠GBH+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH=∠DBG，
在△DBG和△ABH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBG=∠ABH}\\{BG=BH}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG=AH，
而AH=AG+GH，
∴DG=AG+BG；

（3）過F作FH∥AE，
∵CF=BE，AC=BC，
∵CE=2BE，
∴CF：AF=1：2，
∵FH∥AE，
∴CH：CE=CF：AC=1：3，
∴BE：EH=3：4，
∴BG：GF=3：4，
∵FH∥AE，
∴△CFH∽△CAE，
∴$\frac{AE}{FH}=\frac{AC}{FC}=3$，
∵△BGE∽△BFH，
∴$\frac{GE}{FH}=\frac{BG}{BF}=\frac{3}{7}$，
∴AG：GE=6，
∵BG=3，
∴BF=AE=7，
∴AG=6，
∴DG=BG+AG=9．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對應(yīng)相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．